რესურსები

რესურსი ,,მრავალწახნაგები შლილებით"

 რესურსი  ,, მრავალწახნაგები შლილებით“

რესურსის ბმული:  ,,მრავალწახნაგები შლილით“

რესურსის აღწერა და გამოყენების ინსტრუქცია:

რესურსი ,,მრავალწახნაგები შლილით“ შექმნილია პროგრამა ,,geogebra”-ში. ელექტრონული რესურსი იძლევა საშუალებას 3D ფორმატში დათვალიერდეს მრავალწახნაგები_სამკუთხა პრიზმა, მართკუთხა პარალელეპიპედი, კუბი და ოთხკუთხა პირამიდა. რესურსს აქვს ე. წ. სრიალბი, რომლებიც იმართებიან მაუსით. სრიალების მეშვეობით შესაძლებელია ვაჩვენოთ თითოეული მრავალწახნაგას შლილი. რესურსის გამოყენება შეიძლება სწავლების ყველა საფეხურზე.

რესურსი შეიძლება გამოვიყენოთ იმ მიზნით, რომ მოსწავლემ შეძლოს მრავალწახნაგათა განსაზღვრა, დაადგინოს მიმართება მრავალწახნაგათა ელემენტებს შორის, დადაგინოს კავშირი მრავალწახნაგათა შლილსა და ზედაპირის ფართობს შორის.

კავშირი ესგ-თან: მათ.დაწყ. (II).5. ბრტყელი და სივრცული  გეომეტრიული ფიგურების ამოცნობა, აღწერა და გამოსახვა, ფიგურებს შორის და ფიგურის ელემენტებს შორის მიმართებების დადგენა.

მათ. საბ. 5. გრაფიკულად მოცემული მათემატიკური შინაარსის ინფორმაციის წაკითხვა; მათემატიკური ობიექტის გრაფიკული ხერხით (გრაფიკების, დიაგრამების და ნახაზების სახით) წარმოდგენა;

რეფლექსია: ეს რესურსი შეიქმნა მე-6 კლასის მოსწავლეებისათვის თემაზე ,,სივრცითი სხეულები’’.  რესურსი დაეხმარა მოსწვლეებს ფიგურის ზედაპირის ფართობის ცნების გაგებაში და  მისი ელემენტებს (წვერო, წიბო წახნაგი) შორის მიმართების დადგენაში. უნდა აღვვნიშნო რომ, რესურსის გამოყენებამ გაკვეთილზე მოსწავლეთა დაინტერესება გამოიწვია, რამაც ხელი შეუწყო   გაკვეთილზე მათი მაქსიმალურ ჩართულბას.

                ფუნქციათა გრაფიკის  გარდაქმნა

    ბუნებაში მიმდინარე მოვლენები გარკვეულ კანონზომიერებას ემორჩილება. ეს კანონზომიერება შეიძლება გამოვხატოთ მათემატიკური ფუნქციების საშუალებით.  ყოველი წესი, კანონი, რომელიც მოვლენათა ცვლილებას ასახავს, შეიძლება ფუნქციის მეშვეობით გამოვხატოთ. ამიტომაც, ამ თემაზე ცოდნის დაგროვება, ფუნქციის ცნების გააზრება, მისი გამოყენება და მაღალი სააზროვნო უნარების ფლობასთან დაკავშირებული პრობლემის გადაჭრის გზების ძიება, ხელს შეუწყობს მოზარდის თვალსაწიერის გაფართოებას, მათემატიკის, როგორც სამყაროს შემეცნების ინსტრუმენტის გათავისებას. ფუნქციის თემაზე მუშაობისას ინტენსიურად ვიყენებთ მათემატიკის ოთხი წარმოდგენის წესს, რადგან ფუნქცია შეიძლება გამოვხატოთ  ფორმულით, ცხრილით, გრაფით, წყვილებით, გრაფიკით ან აღვწეროთ სიტყვიერად.

    მინდა გაგიზიაროთ  საკუთარი გამოცდილება იმასთან დაკავშირებით, თუ როგორ შეიძლება მოსწავლეებს ვასწავლოთ ფუნქციათა გრაფიკების აგება გადაადგელებების (პარალელური გადატანა, ღერძული სიმეტრია, ცენტრული სიმეტრია) მეშვეობით ინფორმაციული საკომუნიკაციო ტექნოლოგიების გამოყენებით. გრაფიკების ასაგებად შესანიშნავი ელექტრონული პროგრამებია Desmos  და  GeoGebra.                                                                                                             

დაბალ კლასებში განიხილავენ მარტივ ფუნქციებს: ა)წრფივი ფუნქცია  f(x)=kx+b  და მისი კერძო შემთხვევა  პირდაპირპროპორციულობა f (x)=kx  ბ) უკუპროპორციულობა f(x)=k\x.  საწყის ეტაპზე მოსწავლეებთან აქცენტებს ვაკეთებ  თუ რას ნისნავს x-სა და y-ის დასაშვებ მნიშვნელობათა სიმრავლეები, ანუ ფუნქციის განსაზღვრისა და მნიშვნელობათა არე და ვამუშავებთ მოსწავლეებს გრაფიკის აგებაზე. ისინი (x; f (x)) წყვილებით შექმნიან ცხრილებს, მერე ააგებენ ა) და ბ) პუნქტებში ნახსენები ფუნქციათა გრაფიკებს. შემდეგ ეტაპზე ვართულებთ დავალებას და გეზის მიმცემი კითხვებით ვეხმარებით მოსწავლეებს ააგონ f (x)=kx  ფუნქციის გრაფიკისაგან I. f (x)=k(x +a);

II. f (x)=kx  +b III. f (x)=k(x+a)+b  ფუნქციის გრაფიკები. მოსწავლეები  ერთ ნახაზზე  ააგებენ    y=2x (1)          y=2(x+3) (2)  y=2x+2(3)   y=2(x+3)+2 (4) ფუნქციათა გრაფიკებს და შეეცდებიან დაადგინონ წესი, კანონზომიერება, რომლითაც შესაძლებელია y=2x          ფუნქციის გრაფიკისაგან y=2(x+3), y=2x+2,     y=2(x+3)+2 ფუნქციათა გრაფიკები.  ერთ სიბრტყეში აგებული გრაფიკებიდან თვალსაჩინოა, რომ  (1) ფუნქციის გრაფიკებისაგან (2), (3) და (4) ფუნქციათა გრაფიკები მიიღება პარალელური გადატანით. მოსწავლეები რომ იოლად მიხვდნენ, თუ რა პარალელური  გადატანებია ესენი, მოსწავლეებს ყურადრება გავამახვილებინოთ y=2x          ფუნქციის გრაფიკზე მდებარე (0;0) წერტილი სიბრტყის რომელ წერტილზე აისაფება (2); (3) და (4) შემთხვევაში. ამის შემდეგ კი ისინი იოლად დაასკვნიან, რომ    y=2x          ფუნქციის გრაფიკის გადატანა (-3;0) კოორდინატებით განსაზღვრული ვექტორით ამ ფუნქციას ასახავს   y=2(x+3) ფუნქციის გრაფიკზე, (0;2) ვექტორით განსაზღვრული პარალელური გადატანა ასახავს  y=2x+2,     ამ ორი ვექტორის კომპოზიციით განსაზღვრული პარალელური გადატანა (რაც იგივეა (-3;2) ვექტორით განსაზღვრული პარალელური გადატანა) კი ასახავს  y=2(x+3)+2 ფუნქციის გრფიკზე.

  თუ გვაქვს (a;0) კოორდინატების მქონე ვექტორით განსაზრული პარალელური გადატანა, მაშინ სიბრტყის ყოველი წერტილი გადაადგილდება აბსცისთა X ღერძის გასწვრივ a ერთეულზე, ამიტომ  Y ღერძი გადადის   X = a წრფეში.    თუ გავითვალისწინებთ ფუნქციის ინვარიანტულობას გარდაქმნების მიმართ, ანუ რა სახეც აქვს  y = f (x) (5) ფუნქციას XOY   სისტემაში, იგივე სახე,  y^|   = f(x^| ) , აქვს მას ასახვით მიღებულ  X^΄  O^΄ Y^΄    სისტემაში.   ამ პარალელური გადატანით   (x;y)       წერტილისთვის გვაქვს ასახვა 

 (x^΄   ; y^΄) წერტილზე ,  ისე რომ  x^΄  = x+  a;          y^΄  = y    (6). თუ  გავითვალისწინებთ (6) -ში ასახულ დამოკიდებულებებს,  მაშინ (5) ფორმულიდან გამომდინარეობს რომ  y^΄= f(x^΄ - a ) (7).  მიღებულია, რომ დამოუკიდებელი ცვლადი აღვნიშნოთ     x , მასზე დამოკიდებული ცვლადი კი აღვნიშნოთ y, ამიტომ (7) ფორმულაში     x -სა      და     y-ს ჩამოვაცილოთ შტრიხები. ამგვარად თუ    y = f (x)  ფუნქციის გრაფიკის პარალელურ გადატანას მოვახდენთ (a;0) პარალელური გადატანით, მაშინ იგი აისახება   

 y = f(x- a) ფუნქციის გრაფიკში.   გრაფიკი2   გვიჩვენებს,რომ (-3;0) პარალელური გადატანით  ორდინატთა ღერძი გადაადგილდება OX ღერძის გასწვრივ 3 ერთეულზე მარცხნივ  OX ღერძთან ქმნის ახალ საკოორდინატო სისტემას, სადაც ვაგებთ (1) ფუნქციის გრაფიკს; ამგვარად y=2x          გრაფიკის (-3;0) პარალელური გადატანით  იგი აისახება y=2(x+3) 

     (0; b) ვექტორით განსაზღვრული პარალელური გადატანით წერტილთა ნებისმიერი წყვილისათვის გვაქვს ასახვა        x^΄  = x;          y^΄ =  y + b. (7). თუ ამ დამოკიდებულებებს გავითვალისწინებთ (5) ფორმულაში, მაშინ         y^|  -  b= f(x^|   ). შტრიხებს თუ ჩამოვაშორებთ  y = f(x)+ b . მაშასადამე (0; b) პარალაელური გადატანით y = f(x)ფუნქცია აისახება y = f(x)+ b.   გრაფიკი 3 -დან ჩანს, რომ (0;2) პარალელური გადატანით OX  ღერძი გადაადგილდება OY ღერძის გასწვრივ ვერტიკალურად ზევით ორი ერთეულით და OY ღერძთან ქმნის ახალ სისტემას. ამ სისტემაში აგებული y=2x          ფუნქციის გრაფიკი საწყისი გრაფიკისაგან წანაცვლებულია (0;2) ვექტოტით გამოხატული პარალელური გადატანით და იგი y=2x+2   სახისაა.

       (a; b) ვექტორით პარალელური გადატანა არის კომპოზიცია (a; 0) და (0; b) პარალელური გადატანებისა. ამ პარალელური გადატანისას  გვაქვს ასახვა                 x  = x+  a;  y^’  =  y + b.    თუ ამ დამოკიდებულებებს გავითვალისწინებთ (5) ფორმულაში, მაშინ         y^’  -  b= f(x^’  - a   ). შტრიხებს თუ ჩამოვაშორებთ  y = f(x- a)+ b . მაშასადამე (a;b) პარალაელური გადატანით y = f(x) ფუნქცია აისახება y = f(x- a)+ b ფორმულით მოცემულ ფუნქციაში.   გრაფიკი4-დან ჩანს რომ (-3;2) პარალელური გადატანისას OY ღერძი გადაადის  x=-3 წრფეზე , OX  ღერძი კი y=2 წრფეზე, რომელთა თანაკვეთა არის ახალი  სისტემის    სათავე, რომელშიც ვაგებთ ისევ y=2x ფუნქციის გრაფიკს. y=2x          ფუნქციის    (-3;2) პარალელური გადატანით მიიღება      y=2(x+3)+2 ფუნქციის  გრაფიკი .

ანალოგიურად, y=-10/x  ფუნქციის გრაფიკისაგან პარალელური გადატანებით მიიღება                     

 y=-10/(x-2)           

 y= -10/x +3                 

 y=y=-10/(x-2) +3                                                                                  

შესაბამისად      (-2;0), (0;3) და (-2;3) კოორდინატებით განსაზღვრული ვექტორებით.

    

 ამ მეთოდით შემოდის მეცხრე კლასში კვადრატული ფუნქცის გრაფიკის აგება. ჯერ ისწავლება y=ax²   ფუნქციის  გრაფიკის აგება.  ამ ფუნქციის გრაფიკის ( m;0)

 პარალელური გადატანით იგი აისახება y=a(x -m)² ფუნქციის გრაფიკზე; (0;   n) პარალელური გადატანით კი აისახება y=ax^{2   +}n ფუნქციის გრაფიკზე, ხოლო ( m; ;   n) პარალელური გადატანით y=ax²   ფუნქციის გრაფიკი აისახება y=a(x -m)²+ n-ზე.  მაგალითად,  y=3x²   

ფუნქციის        გრაფიკის პარალელური გადატანით მიიღება    y=3(x-1)²  ;      y=3x²   -2 ;    y=3(x-1)²       ფუნქციათა გრაფიკები შესაბამისად (1;0); (0;-2) და (1;-2) პარალელური გადატანებით.  

 განვიხილოთ ფუნქციათა გარდაქმნის ის შემთხვევა, როცა გრაფიკები მიიღება  საკოორდინატო ღერძის მიმართ სიმეტრიით.    y=f(x) და y=-f(x)    ფუნქციათა გრაფიკები სიმეტრიულია აბსცისთა ღერძის მიმართ. მაგალითად ასეთია  y= 5\x და y=-5\x    ფუნქციათა გრაფიკები6.    

       y =|f(x)| ფუნქციის გრაფიკი   მიიღება      y=f(x) ფუნქციის გრაფიკისაგან შემდეგნაირად: აბსცისთა ღერძის მიმართ სიმეტრიულად აისახება მხოლოდ იმ წერტილთა ერთობლობა, რომლთა ორდინატი უარყოფითია.    y=5\x  -საგან y=|5\x| გრაფიკის მისაღებად საჭიროა

III მეოთხედში მდებარე შტო ავსახოთ აბსცისთა ღერძის მიმართ სიმეტრიულად. (იხ. გრაფიკი7)

ამის შემდეგ  ვახარისხებთ ფუნქციებს იმისდა მიხედვით თუ რა არის მათი მნიშვნელობათა სიმრავლე. ის ფუნქციების გრაფიკები,  რომელთა მნიშვნელობათა სიმრავლეა  R+არ იცვლებიან y=|f(x)| გარდაქმნისას.   ასეთებია:  y=sqrt(x) (sqrt - ნიშნავს კვადრატულ  ფესვს) ; y=ax^2;   და          მაჩვენებლიანი ფუნქცია. დასახელებული ფუნქციათა გრაფიკები  იცვლიან  მდებარეობას  y=-f(x) გარდაქმნის შემთხვევაში (აისახებიან სიმეტრიულად აბსცისათა  ღერძის  მიმართ). უფრო რთულდება საქმე როცა  გვაქვს რამოდენიმე გარდაქმნათა კომპოზიცია. ასე მაგალითად: y=|sqrt(x+5)-2| (აღვნიშნავ, რომ სასურველია ასეთ საკითხებზე  ვამუშაოთ  მათემატიკით დაინტერესებული  მოსწავლეები ). პირველად შევადგინოთ  გრაფიკის აგების  ალგორითმი.

  ა)ავაგოთ y=sqrt(x)           ფუნქციის გრაფიკი;

  ბ)ჩავატაროთ (-5; -2)ვექტორით  აგებული გრაფიკის პარალელური გადაადგილება;

 გ)ბოლოს     გამოვიყენოთ   y =|f(x)| გარდაქმნა.   (იხ. გრაფიკი8)   y=sqrt(x+5)-2 ფუნქციის ნულია x=-1. ფუნქცია დადებითია (-1; +∞), ამიტომ ამ შუალედის შესაბამისი წერტილები  უცვლელად გადადიან  y=|sqrt(x+5)-2| ფუნქცისთვისაც,   ხოლო   [ -5;-1) შუალედში აღნიშნული ფუნქცია ღებულობს უარყოფით მნიშვნელობებს, ამიტომ მხოლოდ ამ შუალედის წერტილები აისახებიან აბსცისთა ღერძის მიმართ სიმეტრიულად.

კლასების  მიხედვით მოსავლეები  შეიძლება  ვამუშაოთ ანალოგიურ საკითხებზე  წყვილებში ან ჯგუფებში. მაგ.

ააგეთ      ფუნქციათა გრაფიკები:

ა)  y=|10/(x+3)+4|   (VIII_IX კლასი)

ბ)  y=|lg(x-3)+2|  (XI_XII კლასი)

გ) y=|2x-3x-3|  (IX_XII კლასი)

დ)y=|2sinx|   (XI კლასი)

გამოყენებული ლიტერატურა:  
,,ალგებრა და ანალიზის საწყისები’’ (კოლმოგოროვის რედაქციით)
,,მათემატიკა“ (I ნაწილი. ავტ. ს.თოფურია და სხვ.)
,,მათემატიკა“ (ალგებრა და ანალიზის საწყისები ავტ. ბ.ღვაბერიძე; ფ. დვალისვილი)

ისტ: geogebra.org 

        Desmos.com

                                                         რეფლექსია

ეროვნული სასწავლო გეგმის მიხედვით მატემატიკაში ერთერთი მნიშვნელოვანი საკითხია ფუნქციათა თეორია.ბუნებაში მიმდინარე მოვლენები გარკვეულ კანონზომიერებას ემორჩილება რომელთა გამოსახვა და შესწავლა შესაძლებელია ფუნქციების გამოყენებით.   ფუნქციური დამოკიდებულებით გამოისახება  ფიზიკურ სიდიდეებს შორის კავშირი (მაგ.დროსა და გავლილ მანძილს,სხეულის მასასა და მოცულობას შორის დამოკიდებულებები და ა. შ.).  ამიტომაც აქვს ამ თემის შესწავლას მეტად აქტუალური მნიშვნელობა.

     მრავალწლიანი მუშაობის პერიოდში აღნიშნული თემის სწავლებისას ვაწყდებოდი სხვადასხვა სახის პრობლემას .ასე მაგ.თუ ბავშვი ცოდნის დონეზე დაიმახსოვრებდა მარტივი ფორმულით მოცემული ფუნქციის გრაფიკის აგებას (პირდაპირპროპორციულობა),შემდგომში ვეღარ ახერხებდა მის დაკავშირებას წრფივ ფუნქციასთან, ან მოსწავლე აგებს y=lgx  ფუნქციის გრაფიკს ,მაგრამ უჭირს    y=lg(x+a)+b ფუნქციის გრაფიკული გამოსახვა. იგივე მდგომარეობაა შებრუნებული ამოცანების ამოხსნის დროს.ეს იმიტომ ,რომ  უჭირთ მოცემულ მართკუთხა კოორდინატათა  სისტემაში გრაფიკების  გადაადგილება. აქედან გამომდინარე   გარდაქმნისას გამოვიყენე  ღერძების  გადაადგილება, ახალი სისტემის შექმნა და მასზე საწყისი ფუნქციის გრაფიკის აგება. ამასთან ვაძლევ რთული  ფორმით  მოცემული ფუნქციის ნაწილებად დაშლის სქემას (ანუ გრაფიკის აგების ალგორითმს).ყოველივე ეს  ეხმარება მოსწავლეებს პრობლემა მარტივად გადაჭრან.

       რესურსი  ხელს მიწყობს მოსწავლეებს ვასწავლო პრობლემის მარტივად გადაჭრის გზები და ხერხები. სწორად აგებულ გრაფიკზე  თვალსაჩინოდ ჩანს მისი ყველა თვისება, რაც ხელს  უწყობს ფუნქციის კვლევას; მოსწავლე  სხვადასხვა ცნებას აკავშირებს ერთმანეთთან (გადაადგილება და ფუნქციის ცნება),  არის მრავალჯერადად გამოსაყენებელი. ეროვნული სასწავლო გეგმის  მიხედვით აღნიშნული რესურსი მეხმარება VII- დან     XII -ს კლასების  ჩათვლით შემდეგ მისაღწევ შედეგებზე გასვლაში:

  

    მათ.VII.5.მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის პირდაპირპროპორციული დამოკიდებულების ამოცნობა და გამოსახვა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

  მოცემული დამოკიდებულებისათვის თვისებრივად და რაოდენობრივად აღწერს, თუ რა გავლენას ახდენს ერთი სიდიდის ცვლილება მეორეზე. მოყავს მუდმივი და არამუდმივი რაოდენობრივი ცვლილების მაგალითები ყოველდღიური ცხოვრებიდან. სიტყვიერად ჩაოყალიბებულ დებულებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებისა და  მიმართების შესახებ გამოსახავს გრაფიკულად ან ცხრილით და პირიქით გრაფიკულად ან ცხრილით გამოსახულ დამოკიდებულებას აღწერს სიტყვიერად;

სხვადასხვა ხერხით(გრაფიკულად, ცხრილით ,სიტყვიერად,,ალგებრულად) გამოსახულ დამოკიდებულებებს შორის მიუთითებს   ერთსა და იმავე დამოკიდებულებებს.

    VIII.5. მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა , გაანალიზება და გამოსახვა.

შედეგი თვალსაჩინოა თუ მოსწავლე:

      მისთვის ნაცნობი სიდიდეებისათვის ასახელებს სიდიდეებს შორის წრფივ დამოკიდებულებებს (მაგ.თანაბარი მოძრაობისას გავლილი მანძილის დროზე დამოკიდებულება);

განასხვავებს წრფივ და არაწრფივ დამოკიდებულებებს მიუხედავად დმოკიდებულების გამოსახვის ხერხისა;მსჯელობს მათ შორის განსხვავებაზე;

        სიტყვიერად ჩამოყალიბებულ დებულებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებისა და მიმართების შესახებ გამოსახავს ალგებულად; ალგებრულად მოცემულს - გრაფიკულსდ, ცხრილით ან აყალიბებს სიტყვიერდ.

        მათ.IX.6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება სიდიდებს შორის დამოკიდებულებისაღსაწერად და გამოსაკვლევად.

      მათ.    X 6. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის თვისებების კვლევა და მათი თვისებების         გამოყენება სიდიდეებს შორის დამოკიდებულების შესასწავლად

        მათ.XI.6.მ ოსწავლეს შეუძლიაგრაფიკული , ალგებრული მეთოდებისა და

 ტექნოლოგიების   გამოყენება ფუნქციის/ფუნქციათა  ოჯახის თვისებების შესასწავლად.